《高等数学》教学大纲

课程名称：高等数学 英文名称： Higher Mathematics

学 时： 180 学 分： 12

课程类型：必修 课程性质：公共基础课

适用专业： 全校工科各专业 先修课程：

开课学期：第一、二学期 开课院系：数学教研室

一、课程的教学目标与任务

高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。通过本课程的学习，使学生系统的获得一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，为学习物理、电工、电子等课程和以后扩大数学知识面，打好基础。在课堂讲授的同时，辅以课堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业，逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。

二、本课程与其它课程的联系和分工

高等数学是全校公共基础课，对于以信息和电子学科为主的我校各工科专业，高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要，有着举足轻重的作用。该课程不但是学习复变函数、概率统计、积分变换等课程的必修课，而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。

三、课程内容及基本要求

( 一 ) 函数、极限与连续 (20 学时 )

内容： 函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小，极限存在准则、无穷小的比较，函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

基本要求

1 ．深刻理解函数的定义，回球函数的定义域，会用函数对应法则求函数值与复合函数， 了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系，了解隐函数与反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。

2 ．理解数列极限的 定义和几何意义，知道收敛数列有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则及复合运算法则，会用极限存在的两个准则：夹逼准则与单调有界准则。

3 ．理解函数极限、左右极限 定义，掌握两个重要极限，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

4 ．理解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

5 ．理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，会辨别函数间断点的类型，了解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。。

重点、难点

重点： 极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限 , 函数的连续性。

难点： 极限的定义，极限存在准则。

（二） 导数与微分 （ 12 学时） 中值定理，罗必达法则，导数的应用。

内容： 导数概念及导数公式，复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数

的求导法则，高阶导数，函数的微分。

基本要求

1 ．理解导数及左右导数的定义，知道函数可导性及连续性之间的关系，理解导数的及几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，会用导数描述一些物理量。

2 ．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，熟练应用基本求导公式和求导法则求一般函数的导数。

3 ．了解高阶导数的概念、求导法则，会求简单函数的 阶导数，会求分段函数一阶、二阶导数。

4 ．理解微分的概念、微分与导数得关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

重点、难点

重点： 导数的定义，初等函数导数的求法（一阶及二阶）。

难点： 复合函数求导法，高阶导数的求法

( 三 ) 微分中值定理与导数的应用 （ 16 学时）

内容： 中值定理，罗必达法则，导数的应用。

基本要求

1 ．理解并会用罗尔 (Rolle) 、、拉格朗日 (Lagrange) 、柯西 (Cauchy) 、泰勒 (Taylor) 定理，

2 ．掌握洛必达法则求不定式极限的方法。

3 ．掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式与恒等式的方法。

4 ．掌握用导数求极值、最大值和最小值的方法及其方法。

5 ．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘一些简单函数的图形。

6 ．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

重点、难点

重点： 罗尔定理，拉格朗日定理， 洛必达 法则，用导数判断函数的单调性及极值。

难点： 泰勒定理。

（四） 一元函数积分学 ( 28 学时 )

内容： 不定积分、定积分的概念与性质，换元积分法、分部积分法，牛顿 — 莱布尼兹公式，定积分的几何应用和物理应用， 广义积分 。

基本要求

1 ． 理解原函数与不定积分的概念与性质。

2 ．掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法。

3 ．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4 ．理解定积分的概念与性质。

5 ．会求变上限的积分的导数，掌握牛顿 - 莱布尼兹 (N - L) 公式。

6 ．掌握定积分的换元法、分部积分法，知道常用的定积分公式。

7 ．掌握用定积分表示和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值）。

8 ．了解广义积分的概念，会计算广义积分。

重点、难点

重点： 不定积分、定积分的换元积分法、分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿 – 莱布尼兹公式。

难点： 换元积分法。

（五） 向量代数与空间解析几何 ( 14 学时 )

内容 ：空间直角坐标系与向量的运算，空间直线与平面方程，空间曲线与曲面。

基本要求

•  理解空间直角坐标系、向量概念及其表示。

2 ．掌握向量的运算（线性运算、数量积与向量积）。

3 ．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式，掌握用坐标表示式进行向量运算的方法。

4 ．掌握平面、直线方程及其求法。

5 ．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6 ．会求两点间、点到直线、点到平面的距离。

7 ．知道曲面的一般方程及其图形。

8 ．了解常用二次曲面的方程及其图形 , 会求转轴是坐标轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

9 ．了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影 , 并会求其方程。

重点、难点

重点：空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。

难点：曲面方程。

（六）多元函数微分学 (20 学时 )

基本内容： 多元函数与极限，偏导数及其求导法则，全微分及其应用，微分法在的几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值、最大值与最小值。

基本要求：

1 ．理解多元函数的概念及二元函数的几何意义 , 会求多元函数的定义域。

2 ．了解二元函数的极限与连续性的概念 , 了解有界闭区域上连续函数的性质。

3 ．理解偏导数的概念及其几何意义，掌握一阶偏导数和高阶偏导数的求法，知道混合偏导数与求偏导数的顺序无关的条件。

4 ．理解全微分的概念 , 会求全微分 , 了解全微分存在的必要条件和充分条件 , 了解全微分形式的不变形。

5 ． 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

6 ．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

7 ．了解空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念 , 会求其方程。

8 ．理解多元函数极值与条件极值的概念 , 掌握多元函数极值存在的必要条件。了解二元函数极值存在的充分条件 , 会求二元函数的极值． 会用拉格朗日乘数法求条件极值 , 会求简单函数的最大值和最小值 , 并会解一些简单的应用问题。

重点、难点

重点： 二元函数偏导数的概念，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，二元函数的极值，拉格朗日乘数法。

难点： 复合函数（特别是抽象函数）、隐函数的二阶偏导数求法，方向导数与梯度的概念， 拉格朗日乘数法 。

（七）多元函数的 积分 (34 学时 )

内容：二重、三重积分的概念、性质与计算，二重积分的应用。曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。

基本要求

1 ．理解二重积分、三重积分的概念，了解二、三重积分的性质与积分中值定理。

2 ．掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法，会计算三重积分 ( 直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系 ) 。

3 ．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形面积、立体体积、曲面面积、薄板或立体的质心、转动惯量、引力）。

4 ．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两者之间的关系，掌握两类曲线积分的计算法。

5 ．掌握格林 (Green) 公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，会解全微分方程。

6 ．了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的关系。

7 ．会用高斯 (Gauss) 公式、斯托克斯 (Stokes) 公式计算曲面、曲线积分。

8 ．了解散度、旋度的概念，并会计算。

9 ．会用曲线、曲面积分计算曲线、曲面的质量、重心、转动惯量、引力、功、环流量及通量等。

重点、难点

重点： 二重积分和三重积分的计算方法，两类曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式。

难点： 三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法。 第二类曲线、曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式。

（八） 常微分方程 (16 学时 )

内容 ： 微分方程的基本概念，一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶常系数线性微分方程

基本要求

1 ．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解的概念

2 ．掌握变量可分离的方程和一阶线性微分方程的解法。

3 ．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。

4 ．会用降阶法求解三类方程： 。

5 ．理解线性微分方程解的性质和解的结构，知道求特解可用试探法（试探有无 型特解）。

6 ． 掌握常系数齐次线性微分方程通解解法。

7 ．会解 或 的常系数线性非齐次微分方程。

8 ． 了解欧拉方程

9 ．会用微分方程解决一些简单的应用问题。

重点、难点

重点： 可分离变量及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程解法， 自由项为 的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。

难点： 伯努利方程和全微分方程的解法， 自由项为 的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法 。

（九） 无穷级数 (22 学时 )

内容 ：常数项级数的概念及性质，常数项级数的审敛法。幂级数，函数展开成幂级数及应用，傅里叶级数。

基本要求

1 ．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件。

2 ．掌握几何级数和 级数的敛散性。

3 ．掌握正项级数的比较法、极限法、比值与根值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法。

4 ．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛于收敛的关系。

5 ．了解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道幂级数的收敛半径、收敛区间，会用比值法、根值法求幂级数的收敛区间。

6 ．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导与逐项求积，

会求一些简单幂级数的和函数。

7 ．了解函数展开成幂级数的充分必要条件。掌握 的麦克劳林级数展开式，会利用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

8 ．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷 (Dirichlet) 收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数或余弦级数，会写出傅里叶级数和函数的表达式。

重点、难点

重点：几何级数、 级数的敛散性， 正项级数的比较、比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，幂级数收敛半径及收敛区间的求法，函数展开成幂级数，简单的幂级数和函数的求法。

难点： 正项级数的比较判别法，用间接法将函数展开为幂级数，幂级数的和函数的求法，泰勒级数。

四、教学安排及方式

总学时 180 学时，讲课 140 学时，实验（或上机或多种形式教学） 学时。

五、考核方式

期中考试：闭卷，占总成绩 10 ％ 期末考试：闭卷，占总成绩 60 ％

平时作业：占总成绩 10 ％ 大作业： 占总成绩 10 ％

课堂成绩：占总成绩 10 ％

六、推荐教材与参考书

教材 ：

同济大学 编《高等数学》 ( 第五版 ) ，北京：高等教育出版社， 2002 年 .

邓建中，李广民等编，《高等数学》，北京：高等教育出版社， 2006 年 .

参考书 ：

西安电子科技大学 编，《高等数学》，西安：西电出版社， 1996 年 .

王金金，李广民等 编，《新编高等数学学习辅导》，西安：西电出版社， 1998 年 .

（执笔人：任春丽 审核人：李广民）

2005 年 7 月 14 日

《高等数学》课程内容实施进度计划

课程名称：高等数学（上册）课程类别：（必、限、任）

时数：90任课教师：学年：第一 学期：第一

课程名称：高等数学（下册）课程类别：（必、限、任）

时数：90任课教师：学年：第一 学期：第二